Question

10．已知经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦点F的直线与双曲线右支交于点A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），若x₁+x₂=12，求AB的长．

Answer 1

分析 由双曲线的方程可得出焦点F（4，0），从而可判断直线AB存在斜率，设斜率为k，从而可写出直线AB的方程为y=k（x-4），联立双曲线方程便可得出（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0，由韦达定理便可得出${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{{k}^{2}-3}=12$，从而可以求出k²，求出x₁+x₂，x₁x₂，根据弦长公式便可求出AB的长．

解答 解：根据双曲线方程知c=4；
∵x₁+x₂=12≠8；
∴直线AB存在斜率，设为k，F（4，0）；
∴直线AB的方程为：y=k（x-4），带入双曲线方程消去y并整理得：
（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{{k}^{2}-3}=12$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}+12}{{k}^{2}-3}$；
解得k²=9，x₁x₂=26；
∴$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{10}•\sqrt{1{2}^{2}-4•26}=20$．

点评 考查双曲线的标准方程，双曲线的焦点，对于双曲线c²=a²+b²，直线的点斜式方程，以及韦达定理，弦长公式．