Question

12．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=x³+$\frac{1}{x}$；
（2）f（x）=x²+x；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-2，x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用奇偶函数的定义分别进行判断．

解答 解：（1）因为f（x）的定义域关于原点对称，又f（x）=（-x）³+$\frac{1}{-x}$=-（x³+$\frac{1}{x}$）=-f（x），所以f（x）为奇函数；
（2）f（x）=x²+x定义域为R，f（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x≠f（x），x²-x≠-f（x）；所以f（x）是非奇非偶的函数；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-2，x＜0}\end{array}\right.$定义域为R；x＞0，-x＜0，f（-x）=-（-x）²-2=-x²-2=-（x²+2）=-f（x）；
x＜0，则-x＞0，f（-x）=（-x）²+2=x²+2=-（-x²-2）=-f（x）；x=0，f（-x）=0=-f（x）；
所以f（x）是奇函数．

点评 本题考查了函数奇偶性的判定；在定义域关于原点对称的前提下，利用定义判断f（-x）与f（x）的关系．