Question

【题目】如图，在三棱锥S﹣ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为E、D．

（1）求证：DE⊥SC；
（2）若SA=AB=BC=1，求直线AD与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵SA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴SA⊥BC，

∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，AB∩SA=A，

∴BC⊥平面SAB．

∵AE平面SAB，∴BC⊥AE．

∵AE⊥SB，SB∩BC=B，∴AE⊥平面SBC，

∵SC平面SBC，∴AE⊥SC，

又∵AD⊥SC，AD∩AE=A，

∴SC⊥平面ADE，DE平面SBC，

∴DE⊥SC．

（2）解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，

A（1，0，0），S（1，0，1），C（0，1，0），

设D（a，b，c）， ，则（a﹣1，b，c﹣1）=（﹣λ，λ，﹣λ），∴D（1﹣λ，λ，1﹣λ），

∴ =（﹣1，1，﹣1）， =（﹣λ，λ，1﹣λ），

∵点A在SC上的射影D，∴ =λ+λ﹣1+λ=0，解得 ，

∴D（ ， ， ）， =（﹣ ），

设直线AD与平面ABC所成角为θ，平面ABC的法向量 =（0，0，1），

则sinθ= = = ，

∴cosθ= = ．

∴直线AD与平面ABC所成角的余弦值为

【解析】（1）推导出SA⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥AE，再由AE⊥SC，能证明DE⊥SC．（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD与平面ABC所成角的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．