Question

【题目】如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：VB∥平面MOC．
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB．
（3）求二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，

所以OM∥VB．

又因为OM平面MOC，VB平面MOC，

所以VB∥平面MOC．

（2）证明：因为AC=BC，O为AB中点，

所以OC⊥AB．

因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，

OC平面ABC，所以OC⊥平面VAB．

因为OC平面MOC，

所以平面MOC⊥平面VAB

（3）解：由（2）知OC⊥面VAB，过O作OE⊥VB交VB于点E，连结CE，

因为OC⊥面VAB，所以OC⊥VB，

则∠OEB即为二面角C﹣VB﹣A的平面角．

在直角三角形COE中，

OE= ，OC=1，CE= ，

所以cos∠OEB= ．

故二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值为

【解析】（1）由三角形中位线定理得OM∥VB，由此能证明VB∥平面MOC．（2）推导出OC⊥AB，从而OC⊥平面VAB，由此能证明平面MOC⊥平面VAB．（3）由OC⊥面VAB，过O作OE⊥VB交VB于点E，连结CE，则∠OEB即为二面角C﹣VB﹣A的平面角．由此能求出二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．