题目内容

19.${(\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})^{10}}$展开式中的常数项等于180.

分析 根据二项式的展开式的通项公式Tr+1,求出展开式中常数项.

解答 解:${(\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}})}^{10}$展开式的通项公式为:
Tr+1=${C}_{10}^{r}$•${(\sqrt{x})}^{10-r}$•${(\frac{2}{{x}^{2}})}^{r}$=2r•${C}_{10}^{r}$•${x}^{5-\frac{5r}{2}}$,
令5-$\frac{5r}{2}$=0,
解得r=2.
∴展开式中常数项为22•${C}_{10}^{2}$=180.
故答案为:180.

点评 本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了计算能力的应用问题,是基础题目.

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