题目内容
(本题满分12分,第Ⅰ小题4分,第Ⅱ小题5分,第Ⅲ小题3分)
如图,
是直角梯形,∠
=90°,
∥
,
=1,
=2,又
=1,∠
=120°,
⊥
,直线
与直线
所成的角为60°.
(Ⅰ)求证:平面
⊥平面
;
(Ⅱ)求二面角
的大小;
(Ⅲ)求三棱锥
的体积.













(Ⅰ)求证:平面


(Ⅱ)求二面角

(Ⅲ)求三棱锥

(Ⅰ)略 (Ⅱ)
(Ⅲ)


解法一:
(Ⅰ)∵
∴
,又∵
∴
…(4分)
(Ⅱ)取
的中点
,则
,连结
,
∵
,∴
,从而
作
,交
的延长线于
,连结
,则由三垂线定理知,
,
从而
为二面角
的平面角
直线
与直线
所成的角为
∴
在
中,由余弦定理得
在
中,
在
中,
在
中,
故二面角
的平面角大小为
…(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
为正方形
∴
……(12分)
解法二:(Ⅰ)同解法一…(4分)
(Ⅱ)在平面
内,过
作
,建立空间直角坐标系
(如图)
由题意有
,设
,
则
由直线
与直线
所成的解为
,得
,即
,解得
∴
,设平面
的一个法向量为
,
则
,取
,得
平面
的法向量取为
,设
与
所成的角为
,则
显然,二面角
的平面角为锐角,故二面角
的平面角大小为
(Ⅲ)取平面
的法向量取为
,则点A到平面
的距离
∵
,∴
…(12分)
(Ⅰ)∵

∴



(Ⅱ)取




∵



作





从而


直线




在


在


在


在


故二面角


(Ⅲ)由(Ⅱ)知,

∴

解法二:(Ⅰ)同解法一…(4分)
(Ⅱ)在平面







则

由直线






∴



则



平面






显然,二面角



(Ⅲ)取平面




∵



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