题目内容
【题目】已知单调等比数列,首项为
,其前
项和是
,且
,
,
成等差数列,数列
满足条件
(1)求数列、
的通项公式;
(2)设,记数列
的前
项和是
.
①求;
②求正整数,使得对任意
,均有
.
【答案】(1),
;(2)①.
;②.
.
【解析】
(1)由递推关系首先求得数列的公比,然后可得其通项公式,利用数列
的递推关系结合
计算可得数列
的通项公式;
(2)①.首先整理数列的通项公式,然后利用分组求和的方法可得其前n项和
;
②.计算的值,利用函数增长速度的知识和不等式的解集即可确定k的值.
(1)设.由已知得
,即
,
进而有.所以
,即
,则
.
由已知数列是单调等比数列,且
,所以取
.
数列的通项公式为
.
,
,
则.
即数列的通项公式为
.
(2)①.由(1)可得:,
分组求和可得:.
②由于,
由于比
变化快,所以令
得
.
即递增,而
递减。所以,
最大.
即当时,
.

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