题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，
平分
.
.
.
（1）设E是
的中点，求证：
平面
；
（2）设
平面
，若与平面所成的角为45°，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）利用向量运算可知
，即
能被平面
内两个不共线的向量表示，而
不在平面内，即得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
及平面
的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
解：（1）证明：
，即能被平面内两个不共线的向量表示，且
平面，
平面；
（2）因为
平面
，且
平面
，故
为
与平面所成的角，故
，从而
.
不妨设
，由已知可得
，
，
，
，
到
的距离为
.以A坐标原点，，
分别为y，z轴，建立空间直角坐标系
，如图所示.
.
∵平面，∴
，又∵
，∴
平面
∴
是平面的一个法向量.
设平面
的一个法向量为
，
由
得
即得
.
设所求的角为
，则为锐角，则
，
即所求的二面角的余弦值为.
【题目】随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台．已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表：
送餐距离（千米） | （0，1] | （1，2] | （2，3] | （3，4] | （4，5] |
频数 | 15 | 25 | 25 | 20 | 15 |
以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率．
（1）若某送餐员一天送餐的总距离为100千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数，且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份7元，超过4千米为远距离，每份12元．记X为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望．
【题目】中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量
克与食客的满意率
的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型
来拟合与的关系，根据以下数据：
茶叶量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 4.34 | 4.36 | 4.44 | 4.45 | 4.51 |
可求得y关于x的回归方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【题目】某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门（
）发生有害气体泄漏.每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为0.01立方米.阀门的修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：
泄露阀门 |
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修复时间 （小时） | 11 | 8 | 5 | 9 | 6 |
需先修复 好的阀门 |
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在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为（ ）
A.1.14立方米B.1.07立方米C.1.04立方米D.0.39立方米
