Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$．
（1）证明：函数F（x）=[f（x）]²-[g（x）]²是常数函数；
（2）判断G（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$的奇偶性并证明．

Answer 1

分析 （1）根据题意和平方差公式化简函数F（x）即可；
（2）先求出G（x）的解析式，再化简G（-x）并判断出与G（x）的关系，可得函数G（x）的奇偶性．

解答 证明：（1）由题意得，f（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，
所以F（x）=[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）-g（x）][f（x）+g（x）]
=e^-x•e^x=1，
所以函数F（x）=[f（x）]²-[g（x）]²是常数函数；
（2）函数G（x）是奇函数，证明如下：
由题意得，G（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，
则G（-x）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{{e}^{-x}+{e}^{x}}$=-G（x），
所以函数G（x）是奇函数．

点评 本题考查指数型的函数奇偶性，以及函数的化简、证明，属于中档题．