Question

6．若不等式$\sqrt{-{x}^{2}-4x-3}$≤x+2-m，对[-3，-1]恒成立，则实数m的取值范围是m$≤-\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设y=$\sqrt{-{x}^{2}-4x-3}$，可得y²=-x²-4x-3（y≥0），表示以（-2，0）为圆心，1为半径的圆的上半圆，利用直线与圆相切，求出m，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意，设y=$\sqrt{-{x}^{2}-4x-3}$，可得y²=-x²-4x-3（y≥0）
表示以（-2，0）为圆心，1为半径的圆的上半圆，如图所示
y=x+2-m，切线斜率等于1，圆心到直线的距离为$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=1，∴m=-$\sqrt{2}$，
∵不等式$\sqrt{-{x}^{2}-4x-3}$≤x+2-m，对[-3，-1]恒成立，
∴m$≤-\sqrt{2}$．
故答案为：m$≤-\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．