题目内容

16.已知函数$f(x)=\frac{{p{x^2}+1}}{x}$的图象经过点$({2,\frac{5}{2}})$,.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)写出函数f(x)的定义域,并判断其奇偶性;
(3)当t>$\frac{1}{2}$时,求函数f(x)在区间$[{\frac{1}{2},t}]$上的最小值g(t).

分析 (1)根据条件求出p的值即可.
(2)根据函数成立的条件,结合函数奇偶性的定义进行判断即可.
(3)判断函数的单调性,利用函数单调性和最值之间的关系进行求解即可.

解答 解:(1)∵$f(x)=\frac{{p{x^2}+1}}{x}$的图象经过点$({2,\frac{5}{2}})$,
∴f(2)=$\frac{4p+1}{2}$=$\frac{5}{2}$,
即4p+1=5,
即4p=4,
则p=1,$f(x)=\frac{{{x^2}+1}}{x}$….(4分)
(2)定义域为{x|x≠0}…(6分),
 $f(-x)=\frac{{{{(-x)}^2}+1}}{-x}=-f(x)$,
故f(x)为奇函数…(8分)
(3)$f(x)=x+\frac{1}{x}$,
设0<x1<x2$f({x_1})-f({x_2})=({{x_1}+\frac{1}{x_1}})-({{x_2}+\frac{1}{x_2}})$=$({{x_1}-{x_2}})\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$,
当0<x1<x2≤1时,f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x)在(0,1]上是减函数;
当1<x1<x2时,f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x)在(1,+∞)上是增函数;…(10分)
${f_{max}}(x)=\left\{{\begin{array}{l}{2,({t≥1})}\\{t+\frac{1}{t},({\frac{1}{2}<t<1})}\end{array}}\right.$…(12分)(无单调性证明、无分类讨论等适当扣分)

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性,最值的求解和应用,利用定义法是解决本题的关键.

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