Question

【题目】拟用长度为l的钢筋焊接一个如图所示的矩形框架结构（钢筋体积、焊接点均忽略不计），其中G、H分别为框架梁MN、CD的中点，MN∥CD，设框架总面积为S平方米，BN=2CN=2x米．

（1）若S=18平方米，且l不大于27米，试求CN长度的取值范围；
（2）若l=21米，求当CN为多少米时，才能使总面积S最大，并求最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设AB=y米，BC=3x米，

框架总面积为3xy，

框架总长度为3y+7x米，

故

所以有 +7x≤27，

故7x2﹣27x+18≤0，

解得 ≤x≤3

（2）解：由（1）知3y+7x=21，

即y=7﹣ x（0＜x＜3）

S=3xy=3x（ ）

=7（﹣x2+3x）=7[﹣（x﹣ ）2+ ]

故当x= 时，S有最大值 平方米

【解析】（1）设AB=y米，BC=3x米，求得框架的总面积和总长度，根据题意得到不等式组，即可得到所求长度的范围；（2）运用矩形的面积公式，可得面积S的二次函数，配方即可得到所求最大值和所求长度．
【考点精析】利用基本不等式在最值问题中的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．