题目内容
18．设函数f（x）=x2+2ax-a-1，x∈[0，2]，a为常数．（1）用g（x）表示f（x）的最小值，求g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）-m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）利用函数的对称轴，讨论a的范围，求出二次函数的最小值，求g（a）的解析式；
（2）判断存在，利用g（a）的单调性，求出g（a）的最小值，然后求解m的值．
解答 解：（1）对称轴 x=-a，
①当-a＜0即a＞0 时，函数f（x）=x2+2ax-a-1，x∈[0，2]上是增函数，
当x=0 时有最小值 f（0）=-a-1 …2分
②当-a≥2即a≤-2 时，函数f（x）=x2+2ax-a-1，x∈[0，2]上是减函数，
x=2时有最小值，f（2）=3a+3 …4分
③当0＜-a＜2即-2＜a＜0 时，函数f（x）=x2+2ax-a-1，x∈[0，2]上是不单调，
x=-a时有最小值 f（-a）=-a2-a-1 …6分
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}-a-1，a≥0\\-{a}^{2}-a-1，-2＜a＜0\\ 3a+3，a≤-2\end{array}\right.$…8分
（2）存在，由题知g（a）在（-∞，$-\frac{1}{2}$）是增函数，在[$-\frac{1}{2}$，+∞）是减函数
a=$-\frac{1}{2}$时，g（a）max=-$\frac{3}{4}$…10分
g（a）-m≤0恒成立，可得g（a）max≤m，∴$m≥-\frac{3}{4}$…12分，
∵m为整数，∴m的最小值为0 …13分
点评 本题考查二次函数的性质的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论、计算能力．
练习册系列答案
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10．设函数f（x）为二次函数，且满足下列条件：①f（x）≤f（$\frac{1-2a}{2}$）（a∈R）；②当x1＜x2，x1+x2=0时，有f（x1）＞f（x2）．则实数a的取值范围是（ ）
| A． | a＞$\frac{1}{2}$ | B． | a≥$\frac{1}{2}$ | C． | a≤$\frac{1}{2}$ | D． | a＜$\frac{1}{2}$ |