Question

13．给出下列结论：
①y=x²+1，x∈[-1，2]，y的值域是[2，5]；
②幂函数图象一定不过第四象限；
③函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，0）；
④若log_a$\frac{1}{2}$＞1，则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）；
⑤若2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．
其中正确的序号是②④⑤．

Answer 1

分析 直接求出二次函数的值域判断①；由幂函数的性质判断②；利用代值验证法判断③；分类求解对数不等式判断④；构造函数f（x）=2^-x-lnx，由此函数为（0，+∞）上的减函数，结合2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0）求得x+y＜0判断⑤．

解答 解：①∵x∈[-1，2]，y=x²+1，∴当x=0时，y_min=1，当x=2时，y_max=5，则y的值域是[1，5]，①错误；
②幂函数图象一定不过第四象限，②正确；
③∵当x=1时，f（1）=-1，∴函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，-1），故③错误；
④由log_a$\frac{1}{2}$＞1，当a＞1时，可得a$＜\frac{1}{2}$，此时a∈∅；当0＜a＜1时，解得a$＞\frac{1}{2}$，此时$\frac{1}{2}＜a＜1$．则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1），故④正确；
⑤令f（x）=2^-x-lnx，此函数为（0，+∞）上的减函数，
由2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），得2^-x-lnx＞2^y-ln（-y），则x＜-y，即x+y＜0，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数值域的求法，训练了函数图象的平移方法，考查对数不等式的解法，构造函数判断⑤是该题的难点所在，该题是中档题．