题目内容
【题目】已知圆,点
,
是圆上一动点,点
在线段
上,点
在半径
上,且满足
.
(1)当在圆上运动时,求点
的轨迹
的方程;
(2)设过点的直线
与轨迹
交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线交
于点
,与
轴交于点
,若
,求点
横坐标的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】分析:(1)由直线为线段
的垂直平分线,则
,可得点
的轨迹是以点
为焦点,焦距为
,长轴为
的椭圆;
(2)由题意直线的斜率存在,设
,于是直线
的方程为
,设
,联立方程组,利用根与系数的关系得
,设
,
所在直线方程为
,令
,得
,利用
,即可得出.
详解:(1)由题意知,直线为线段
的垂直平分线,所以
所以点的轨迹是以点
为焦点,焦距为4,长轴为4的椭圆,
,
,
,
故点的轨迹
的方程为
.
(2)由题意直线的斜率存在设为
,于是直线
的方程为
,
设,联立
,得
.
因为,由根与系数的关系得
,
∴,
,
设的横坐标为
,则
,
所在直线方程为
,
令,得
,·
于是,
即,
整理得,
,
∴
.
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