Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥平面PCD，PA⊥CB，AB=2AD=2CD=2，E为PB的中点
（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若PA=$\sqrt{5}$，求三棱锥D-EAC的体积．

Answer 1

分析 （1）要证平面PAC⊥平面PBC，可利用面面垂直的判定定理，证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线，由已知可得即AC⊥BC，再由已知PA⊥CB，结合线面垂直的判定得到BC⊥平面PAC，则答案得证；
（2）由（1）结合已知可得PC⊥平面ABCD，解直角三角形求出PC，把三棱锥D-EAC的体积转化为棱锥P-DAC体积的一半得答案．

解答 （1）证明：如图，
由已知得，AB=2，AD=CD=1，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，则AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC，
由已知有PA⊥CB，
又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（2）解：由（1）得：BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴PC⊥BC．
由已知得，AD⊥平面PCD，又PC?平面PCD，∴PC⊥AD，
又AD，BC是平面ABCD内的两条相交直线，∴PC⊥平面ABCD．
∴$PC=\sqrt{P{A}^{2}-A{C}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴${V}_{D-EAC}={V}_{E-DAC}=\frac{1}{2}{V}_{P-DAC}$
=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}{S}_{△DAC}•PC=\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•1•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．