题目内容
5.在直三棱柱ABC-A′B′C′中,底面ABC是边长为2的正三角形,D′是棱A′C′的中点,且AA′=2$\sqrt{2}$.(Ⅰ)证明:BC′∥平面AB′D′;
(Ⅱ)棱CC′上是否存在一点M,使A′M⊥平面AB′D′,若存在,求出CM的长;若不存在,说明理由.
分析 (Ⅰ) 连结A′B交AB′于点E,连结D′E,证明D′E∥BC′,利用在与平面平行的判定定理证明BC′∥平面AB′D′.
(Ⅱ) 作A′M⊥AD′,交CC′于M,通过证明△A′AD∽△C′A′M,求出CM的长,得到结果.
解答 解:(Ⅰ) 连结A′B交AB′于点E,连结D′E,
∵四边形A′ABB′为矩形,∴E为A′B的中点,
又∵D′是棱A′C′的中点
∴D′E∥BC′
∵D′E?平面AB′D′BC′?平面AB′D′
∴BC′∥平面AB′D′…(6分)
(Ⅱ) 作A′M⊥AD′,交CC′于M
∵D′是棱A′C′的中点
∴B′D′⊥A′C′
∴B′D′⊥平面A′ACC′
∴B′D′⊥A′M
∴A′M⊥平面AB′D′
此时△A′AD∽△C′A′M
∴$\frac{A'A}{A'D'}=\frac{A'C'}{C'M}$,即$C'M=\frac{A'C'•A'D'}{A'A}=\frac{2×1}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,∴$CM=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
即当$CM=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$时,A′M⊥平面AB′D′.…(12分)
点评 本题考查空间点线面距离的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.
练习册系列答案
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A. | $\frac{π}{4}$ | B. | $\frac{π-\sqrt{3}}{6}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}+3π}{12}$ | D. | $\frac{3\sqrt{3}+2π}{18}$ |
14.已知实数x,y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5≤0}\\{x+y-3≥0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$,则目标函数z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范围为( )
A. | [2,$\frac{5}{2}$] | B. | [$\frac{5}{2}$,$\frac{10}{3}$] | C. | [2,$\frac{10}{3}$] | D. | [$\frac{1}{3}$,2] |