Question

7．如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是边长为2的正方形，DEFB是一平行四边形，且DE⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．
（Ⅰ）求证：平面AEF∥平面BDGH；
（Ⅱ）求V_E-EFH．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明GH∥EF，推出GH∥平面AEF，设AC∩BD=O，连接OH，证明OH∥平面AEF．然后利用平面与平面平行的判定定理证明平面BDGH∥平面AEF．（Ⅱ）证明AC⊥BD．然后证明平面BDEF⊥平面ABCD，
推出H到平面BDEF的距离为CO的一半，求出三角形BEF的面积，即可求解棱锥的体积．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 证明：在△CEF中，∵G、H分别是CE、CF的中点，∴GH∥EF，
又∵GH?平面AEF，EF?平面AEF，∴GH∥平面AEF，
设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，∵OA=OC，CH=HF，
∴OH∥AF，
又∵OH?平面AEF，AF?平面AEF，
∴OH∥平面AEF．
又∵OH∩GH=H，OH、GH?平面BDGH，
∴平面BDGH∥平面AEF…（6分）
（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
又因为 DE⊥平面ABCD，则平面BDEF⊥平面ABCD，
平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC?平面ABCD，
所以AC⊥平面BDEF．得AC⊥平面BDEF…（8分）
则H到平面BDEF的距离为CO的一半
又因为$AO=\sqrt{2}$，三角形BEF的面积${S_{△BEF}}=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
所以${V_{E-BHF}}={V_{H-BEF}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×3\sqrt{2}=1$…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．