题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,记函数
的极小值为
,若
恒成立,求满足条件的最小整数
.
【答案】(1)见解析;(2)0.
【解析】试题分析:(1)求函数的定义域和导数,讨论的取值范围,利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.
(2)根据(1)求出求出函数的极小值为
若
恒成立,转化为恒成立,构造函数设
根据导数和函数的函数,求出
即可求出满足条件的最小整数
试题解析:
(1)的定义域为
,
①若,当
时,
,
故在
单调递减,
②若,由
,得
,
(ⅰ)若,当
时,
,
当时,
,
故在
单调递减,在
,
单调递增
(ⅱ)若,
,
在
单调递增,
(ⅲ)若,当
时,
,
当时,
,
故在
单调递减,在
,
单调递增
(2)由(1)得:若,
在
单调递减,
在,
单调递增
所以时,
的极小值为
由恒成立,
即恒成立
设,
令,
当时,
所以在
单调递减,
且,
所以,
,
且,
,
,
所以,
因为
得其中
,
因为在
上单调递增
所以
因为,
,所以
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