题目内容
(本小题满分14分)
在平面直角坐标系
中,椭圆
的离心率为
,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆
交于
两点(
不是椭圆
的顶点).点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴、
轴分别交于
两点.
(i)设直线
的斜率分别为
,证明存在常数
使得
,并求出
的值;
(ii)求
面积的最大值.
在平面直角坐标系






(Ⅰ)求椭圆

(Ⅱ)过原点的直线与椭圆











(i)设直线





(ii)求

(1)
.(2)(ⅰ)存在常数
使得结论成立.(ⅱ)
.



试题分析:(1)首先由题意得到


将



由



(2)(ⅰ)注意从确定



设


得到

根据直线BD的方程为

令




由

(ⅱ)直线BD的方程

从确定


试题解析:(1)由题意知


椭圆C的方程可化简为

将


因此


因此

所以椭圆C的方程为

(2)(ⅰ)设


因为直线AB的斜率

又


设直线AD的方程为

由题意知

由


所以

因此

由题意知,

所以

所以直线BD的方程为

令



可得

所以


因此存在常数

(ⅱ)直线BD的方程

令



由(ⅰ)知

可得


因为


此时S取得最大值

所以



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