题目内容
【题目】已知椭圆:
的一个焦点为
,离心率为
.
(1)求的标准方程;
(2)若动点为
外一点,且
到
的两条切线相互垂直,求
的轨迹
的方程;
(3)设的另一个焦点为
,过
上一点
的切线与(2)所求轨迹
交于点
,
,求证:
.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析.
【解析】
(1)利用题中条件求出的值,然后根据离心率求出
的值,最后根据
三者的关系求出
的值,从而确定椭圆C的标准方程;
(2)设,切点分别为
,
,当
时,设切线方程为
,与椭圆联立消去
,得
,根据根的判别式
,化简得
,又因为
在椭圆
外,
.又因为
,所以
,即
,化简为
,
整理即可得的轨迹方程.
(3)设,先求
.方法一:由相交弦定理,得
.
方法二:切线的参数方程,将
代入圆
,因为点
在圆
内,整理可得
.再利用公式求
,所以
证得.
(1)解:设,
由题设,得,
,所以
,
,
所以的标准方程为
.
(2)解:如图,设,切点分别为
,
,
当时,设切线方程为
,
联立方程,得,
消去,得
,①
关于的方程①的判别式
,
化简,得,②
关于的方程②的判别式
,
因为在椭圆
外,
所以,即
,所以
.
关于的方程②有两个实根
,
分别是切线
,
的斜率,
因为,所以
,即
,化简为
,
当时,可得
,满足
,
所以的轨迹方程为
.
(3)证明:如图,设,先求
.
方法一:由相交弦定理,得
.
方法二:切线的参数方程为
(
为参数),
,
代入圆,整理得
,
因为点在圆
内,
所以上述方程必有两个不等实根,
,
,且
,
所以,
当时,
,仍有
.
再求.
,
因为点在椭圆
上,所以
,即
,
所以,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数()的检测数据,结果统计如下:
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
(1)从空气质量指数属于,
的天数中任取3天,求这3天中空气质量至少有2天为优的概率;
(2)已知某企业每天的经济损失(单位:元)与空气质量指数
的关系式为
,试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.