题目内容
【题目】对于定义域为R的函数,若函数
是奇函数,则称
为正弦奇函数.已知
是单调递增的正弦奇函数,其值域为R,
.
(1)已知是正弦奇函数,证明:“
为方程
的解”的充要条件是“
为方程
的解”;
(2)若,求
的值;
(3)证明:是奇函数.
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】
(1)根据正弦奇函数的定义,结合充要条件的定义,分别证明必要性和充分性,可得结论;
(2)由是单调递增的正弦奇函数,
,可得a,b互为相反数,进而得到答案.
(3)根据是单调递增的正弦奇函数,其值域为R,
得到:
,可得结论.
证明(1)是正弦奇函数,
故是奇函数,
当:“为方程
的解”时,
,
则,
即“为方程
的解”;
故:“为方程
的解”的必要条件是“
为方程
的解”;
当:“为方程
的解”时,
,
则,
即“为方程
的解”;
故:“为方程
的解”的充分条件是“
为方程
的解”;
综上可得:“为方程
的解”的充要条件是“
为方程
的解”;
解:(2)是单调递增的正弦奇函数,
,
则,
则,
则
证明:(3)是单调递增的正弦奇函数,其值域为R,
.
故,
即,
,故
是奇函数.
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