题目内容
【题目】已知定义在区间
上的函数
，其中常数
．
（1）若函数
分别在区间
上单调，试求
的取值范围；
（2）当
时，方程
有四个不相等的实根
．
①证明： 
；
②是否存在实数
，使得函数在区间
单调，且的取值范围为
，若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 
(2)见解析， 
【解析】试题分析：（1）结合对勾函数的特征，即可知
,从而求出参数范围；（2）当
时，方程
即为
或
，由韦达定理可证明．结合函数图像及其单调性，分类讨论分别在四个单调区间内去求解，最后求并集即可．
试题解析：（1）设
∵
∴函数
分别在区间
上单调 且
要使函数
分别在区间
上单调
则只需
（2）①当
时， 
或
即
或
∵
为方程
的四个不相等的实根
∴由根与系数的关系得
②如图，可知
， 
在
、
、
、
均为单调函数
（Ⅰ）当
时， 
在
上单调递减
则
两式相除整理得
∵
∴上式不成立 即
无解， 
无取值 10分
（Ⅱ）当
时， 
在
上单调递增
则
即
在
有两个不等实根
而令
则
作
在
的图像可知， 
12分
（Ⅲ）当
时， 
在
上单调递减
则
两式相除整理得
∴
∴
∴
由
得
则
关于
的函数是单调的，而
应有两个不同的解
∴此种情况无解
（Ⅳ）当
时，同（Ⅰ）可以解得
无取值
综上， 
的取值范围为
阅读快车系列答案【题目】某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率
利润
保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；
（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加
元，对应的销量为
（万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组
与
的对应数据：
| 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
销量为 | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
由上表，知
与
有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为
．
（ⅰ）求参数
的值；
（ⅱ）若把回归方程
当作
与
的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入
每份保单的保费
销量．
