题目内容
【题目】如图,梯形中,
,
,
,
、
分别是
,
的中点,现将
沿
翻折到
位置,使
(1)证明:面
;
(2)求二面角的平面角的正切值;
(3)求与平面
所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)通过折叠关系得,计算并证明
,即可得证线面垂直;
(2)结合已证结论以为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,分别通过平面
和平面
的法向量求出其余弦值,再求出正弦值;
(3)计算出平面的法向量与
的方向向量的夹角余弦值的绝对值即可.
(1)梯形中,
,
,
,
、
分别是
,
的中点,
,四边形
为平行四边形,
,
,
,
所以四边形为正方形,
,折叠后,
,
,
,在三角形
中,
,
所以,
是平面
内两条相交直线,
所以面
;
(2)两两互相垂直,以
为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则
,设平面
的法向量为
则,解得
,令
,取
由(1)可知,面
,取平面
的法向量
,
根据图形,二面角的平面角的余弦值为
所以二面角的平面角的正切值为
;
(3),由(2)可得平面
的法向量
设直线与平面
所成的角为
,
.
所以与平面
所成的角的正弦值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目