题目内容
【题目】首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
(元)与月处理量
(吨)之间的函数关系可近似地表示为
，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．
【解析】
（1）根据已知得平均处理成本为
，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利
，根据二次函数图象可求得
，可知不获利，同时求得国家至少补贴
元.
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：
当且仅当
，即
时取等号
月处理量为
吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为
元/吨
（2）不获利
设该单位每月获利为
元
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴元才能不亏损
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