题目内容

【题目】已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,且过点.

(I)求的标准方程;

(Ⅱ)若为坐标原点, 的焦点,过点且倾斜角为的直线 两点,求的面积.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

【解析】试题分析:(I)将点坐标代入抛物线方程求参数p,即得标准方程;(Ⅱ)根据点斜式写直线方程,与抛物线联立方程组,利用韦达定理以及弦长公式求底边边长,根据点到直线距离公式求高,最后代入三角形面积公式得面积.

试题解析:(I)依题意可设抛物线的方程是

因为抛物线过点,所以,解得

所以抛物线的方程

(Ⅱ)法一:

由(I)得,焦点,依题意知直线的方程是

联立方程化简,得

利用弦长公式得.

到直线的距离

所以的面积为.

法二:

由(I)得,焦点,依题意知直线的方程是

联立方程化简,得

采用割补法,则的面积为

法三:

由(I)得,焦点,依题意知直线的方程是

联立方程化简,得

由韦达定理,得.

利用抛物线定义,得

到直线的距离

所以的面积为.

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