题目内容
【题目】已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,且过点.
(I)求的标准方程;
(Ⅱ)若为坐标原点, 是的焦点,过点且倾斜角为的直线交于, 两点,求的面积.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(I)将点坐标代入抛物线方程求参数p,即得标准方程;(Ⅱ)根据点斜式写直线方程,与抛物线联立方程组,利用韦达定理以及弦长公式求底边边长,根据点到直线距离公式求高,最后代入三角形面积公式得面积.
试题解析:(I)依题意可设抛物线的方程是
因为抛物线过点,所以,解得,
所以抛物线的方程
(Ⅱ)法一:
由(I)得,焦点,依题意知直线的方程是,
联立方程化简,得
设则,
利用弦长公式得.
点到直线的距离,
所以的面积为.
法二:
由(I)得,焦点,依题意知直线的方程是,
联立方程化简,得
设则,
采用割补法,则的面积为
法三:
由(I)得,焦点,依题意知直线的方程是,
联立方程化简,得
设由韦达定理,得.
利用抛物线定义,得
点到直线的距离,
所以的面积为.