题目内容
(本小题共12分)
已知抛物线C:上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线与抛物线C交于两点,,且(,且为常数).过弦AB的中点M作平行于轴的直线交抛物线于点D,连结AD、BD得到.
(1)求证:;
(2)求证:的面积为定值.
已知抛物线C:上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线与抛物线C交于两点,,且(,且为常数).过弦AB的中点M作平行于轴的直线交抛物线于点D,连结AD、BD得到.
(1)求证:;
(2)求证:的面积为定值.
(Ⅰ)依题意得:,解得. 所以抛物线方程为 …… (4分)
(Ⅱ)(1)由方程组消去得:.(※)
依题意可知:.由已知得,…………………… (6分)
由,得,即,整理得.
所以 ……………………… (8分)
(2)由(1)知中点,所以点,………………(9分)
依题意知.………………………(10分)
又因为方程(※)中判别式,得.所以,
由(Ⅱ)可知,所以. ……………… (11分)
又为常数,故的面积为定值. ………………… (12分)
(Ⅱ)(1)由方程组消去得:.(※)
依题意可知:.由已知得,…………………… (6分)
由,得,即,整理得.
所以 ……………………… (8分)
(2)由(1)知中点,所以点,………………(9分)
依题意知.………………………(10分)
又因为方程(※)中判别式,得.所以,
由(Ⅱ)可知,所以. ……………… (11分)
又为常数,故的面积为定值. ………………… (12分)
略
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