Question

【题目】已知椭圆和抛物线，在上各取两个点，这四个点的坐标为．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设是在第一象限上的点，在点处的切线与交于两点，线段的中点为，过原点的直线与过点且垂直于轴的直线交于点，证明：点在定直线上．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）根据椭圆及抛物线的性质可得点，在椭圆上，点， 在抛物线上，分别代入求值，即可求得的方程；（Ⅱ）设（），根据导数的几何意义可求出切线的方程，再设，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理及线段的中点为，可得点坐标，即可表示出直线的方程，从而可得点在定直线上

详解：（Ⅰ）由已知， 点，在椭圆上，所以 ，，

解得：，，所以：；

点， 在抛物线上，所以，所以：．

（Ⅱ）设（），由得，所以切线的方程为：.

设，，由得：，

由，得，代入得.

∴

∴：

由得，所以点在定直线上．