题目内容
【题目】【江西省临川实验学校2017届高三第一次模拟考试数学（文）】已知抛物线
，焦点为
，点
在抛物线
上，且
到
的距离比
到直线
的距离小1.
（1）求抛物线
的方程；
（2）若点
为直线
上的任意一点，过点
作抛物线
的切线
与
，切点分别为
，求证:直线
恒过某一定点.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）根据抛物线定义可得直线
为抛物线的准线，即得
，（2）关键求出直线AB方程，先设切点
的坐标，利用导数几何意义可得切线斜率，进而根据点斜式可得切线方程，求两切线方程交点可得点
坐标，由于点
在直线
上，所以可得
.最后联立AB方程
与抛物线方程，利用韦达定理得
，即得直线
恒过定点
.
试题解析：（1）因为
到
的距离与
到直线
的距离相等，由拋物线定义知，直线
为抛物线的准线，所以
，得
,所以抛物线
的方程为
.
（2）设切点
的坐标分别为
，由(1)知， 
.
则切线
的斜率分别为
,
,
故切线
的方程分别为
, 
,
联立以上两个方程，得
故
的坐标为
.
因为点
在直线
上，所以
，即
.
设直线
的方程为
，代入抛物线方程
，得
，所以
，即
，所以
.
故
的方程为
,故直线
恒过定点
.
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参加书法社团 | 未参加书法社团 | |
参加演讲社团 |
|
|
未参加演讲社团 |
|
|
（1）从该班随机选
名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的
名同学中，有5名男同学
名女同学
现从这
名男同学和名女同学中各随机选
人，求
被选中且
未被选中的概率.
