题目内容
【题目】如图, 是圆
的直径,点
在圆
上,矩形
所在的平面垂直于圆
所在的平面,
.
(1)证明:平面⊥平面
;
(2)当三棱锥的体积最大时,求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明过程见解析;(2)h=
【解析】试题分析:(1)先根据平几知识得BC⊥AC,CD⊥BC,再利用线面垂直判定定理得BC⊥平面ACD,即有DE⊥平面ACD,最后根据面面垂直判定定理得平面⊥平面
;(2)先根据DE⊥平面ACD,表示三棱锥
的体积,再根据基本不等式得体积最大时满足的条件:
,最后利用等体积求高,即可得点
到平面
的距离.
试题解析:(1)∵AB是直径,∴BC⊥AC
又四边形DCBE为矩形,CD⊥DE,BC∥DE,
∴CD⊥BC.
∵CD∩AC=C,
∴BC⊥平面ACD,
∴DE⊥平面ACD
又DE平面ADE,
∴平面ADE⊥平面ACD
(2)由(1)知VC﹣ADE=VE﹣ACD==
==
,
当且仅当AC=BC=2时等号成立
∴当AC=BC=2三棱锥C﹣ADE体积最大为:
此时,AD==3,
=3
,
设点C到平面ADE的距离为h,则
∴h=
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