Question

【题目】如图，正四棱锥 中底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为．

（I）求正四棱锥 的外接球半径；

（II）若 是 中点，求异面直线 与 所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）连结， 交于点，连结，则面，利用侧棱与底面所成角的正切值为，可得，利用勾股定理建立方程，求出；（2）容易证明以且，可得就是异面直线与所成的角，在中求解.

试题解析：（1）连结， 交于点，连结，则面，

∴就是与底面所成的角，

， 又，则．

设为外接球球心，连，易知，设，则， ∴，

∴正四棱锥的外接球半径为；

（2）连结，由于为中点， 为中点，所以 ．

∴就是异面直线与所成的角．

在中， ，∴．

由， 可知面， 所以，

在中， ，

即异面直线PD与AE所成角的正切值为．