题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)对于曲线上的不同两点,如果存在曲线上的点
,且
使得曲线在点
处的切线
,则称
为弦
的伴随直线,特别地,当
时,又称
为
的
—伴随直线.
①求证:曲线的任意一条弦均有伴随直线,并且伴随直线是唯一的;
②是否存在曲线,使得曲线
的任意一条弦均有
—伴随直线?若存在,给出一条这样的曲线,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)…………………………………… 2分
当,
,函数
在
内是增函数,
∴函数没有极值。 ……………………………… 3分
当时,令
,得
。
当变化时,
与
变化情况如下表:
+ | 0 | - | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
∴当时,
取得极大值
。
综上,当时,
没有极值;
当时,
的极大值为
,没有极小值。 ……………5分
(Ⅱ)(ⅰ)设是曲线
上的任意两点,要证明
有伴随切线,只需证明存在点
,使得
,且点
不在
上。 ……………………7分
∵,即证存在
,使得
,即
成立,且点
不在
上。 …………………8分
以下证明方程在
内有解。
记,则
。
令,
∴,
∴在
内是减函数,∴
。
取,则
,即
。……9分
同理可证。∴
。
∴函数在
内有零点。
即方程在
内有解
。………………10分
又对于函数取
,则
可知,即点Q不在
上。
是增函数,∴
的零点是唯一的,
即方程在
内有唯一解。
综上,曲线上任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的。…… 11分
(ⅱ)取曲线C:,则曲线
的任意一条弦均有
伴随切线。
证明如下:设是曲线C上任意两点
,
则,
又,
即曲线C:的任意一条弦均有
伴随切线。
【解析】略
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