题目内容
【题目】如图,四棱锥的底面
为正方形,
⊥底面
,
分别是
的中点,
.
(Ⅰ)求证∥平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成的角;
(Ⅲ)求四棱锥的外接球的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)45°;(Ⅲ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)欲证∥平面
;连
,根据中位线可以知道
,而
不在平面
内,满足定理所需条件;
(Ⅱ)关键是证明平面
,找到
是直线
与平面
所成的角;
(Ⅲ)利用补成正方体的思想,求外接球的半径.
试题解析:(Ⅰ)如图,连结,则
是
的中点,又
是
的中点,
∴.又∵
平面
,
面
∴平面
.
(Ⅱ)取的中点
,连接
.
在正方形中,
是
的中点,有
.
∵平面
,
平面
,∴
,
∵,∴
平面
,
∴是直线
在平面
的射影,∴
是直线
与平面
所成的角,
在直角三角形中,
,所以
.
∴直线与平面
所成的角为45°.
(Ⅲ)设四棱锥的外接球半径为
,
,则
,即
.
所以外接球的体积为.
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