题目内容

6.某商店经营一批进价为每件4元的商品,在市场调查时发现,此商品的销售单价x与日销售量y之间有如下关系:
x5678
y10873
(1)求相关系数.并以此判断销售单价与日销售量之间具有怎样的线性相关关系?
(2)求x,y之间的线性回归方程;
(3)估计销售单价为多少元时,日利润最大?
(参考数据:$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-4\overline x\overline y}$=-11,$\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{(\overline x)}^2}}$=5,$\sum_{i=1}^4{y_i^2-4{{(\overline y)}^2}}$=26)
用最小二乘法求线性回归方程系数公式:$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$,r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n(\overline{x})^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}^{2}-n(\overline{y})^{2}}}$.

分析 (1)根据相关系数公式,求出相关系数,结合相关系数的意义,可得结论;
(2)根据已知中的数据,利用最小二乘法,可得x,y之间的线性回归方程;
(3)根据(2)中回归方程,求出日销售量,进而求出日利润,结合二次函数的图象和性质,可得答案.

解答 解:(1)相关系数$r=\frac{\sum _{i=14}^{4}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum _{i=1}^{4}{x}_{i}^{2}-n{(\overline{x})}^{2}}\sqrt{\sum _{i=1}^{4}{y}_{i}^{2}-n{(\overline{y})}^{2}}}$=$\frac{-11}{\sqrt{5×26}}$≈-0.9648.
这说明销售单价x与日销售量y是高度负相关的.
(2)由表格数据知$\overline{x}$=6.5,$\overline{y}$=7,
又∵$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-4\overline x\overline y}$=-11,$\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{(\overline x)}^2}}$=5,
∴$\hat{b}$=$\frac{-11}{5}$=-2.2,
$\hat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=7+2.2×6.5=21.3,
∴线性回归方程为$\hat{y}$=21.3-2.2x.
(3)当销售单价为x元时,利润为W=(x-4)(-2.2x+21.3)=-2.2x2+30.1x-85.2,
当x=$\frac{30.1}{2×2.2}$≈7时,日利润最大为:W=$\frac{4?-2.2?×?-85.2?-30.12}{4?-2.2?}$≈17.7.
即当销售单价为7元时,日利润最大为17.7元.

点评 本题考查的知识点是相关系数,回归方程,熟练掌握最小二乘法的计算步骤,是解答的关键.

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