题目内容
1.已知函数f(x)=$\frac{1}{2}{x^2}$+x,数列{an}满足:a1=1,an+1=f(an)(n∈N*).(Ⅰ) 求a2,a3;
(Ⅱ) 证明:an+1>$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{7}{8}$;
(Ⅲ) 求证:$\frac{1}{2}$<$\frac{1}{2+{a}_{1}}$+$\frac{1}{2+{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2+{a}_{n}}$<1(n≥2,n∈N*).
分析 (Ⅰ)令n=1、2代入已知的式子求出a2,a3;
(Ⅱ)由递推公式化简an+1-an并判断出数列的单调性,由首项的值确定其它项的范围;利用作差法和放缩法证明不等式成立;
(Ⅲ)由递推公式化简$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{\frac{1}{2}{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}$,利用裂项相消法求出式子的表达式,利用(Ⅱ)的结论和n的范围进行证明即可.
解答 解:(Ⅰ)因为a1=1,an+1=f(an)(n∈N*),且f(x)=$\frac{1}{2}{x^2}$+x,
所以令n=2得,${a}_{2}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$,
同理可得${a_3}=\frac{21}{8}$.…(2分)
证明:(Ⅱ) 因为a2,a3,…an都大于0,
则$a_n^2>0$,${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{1}{2}{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}-{a}_{n}=\frac{1}{2}{{a}_{n}}^{2}>0$,
所以数列{an}是递增数列,
因为a1=1,所以当n≥2时有an>1…(3分)
因为${a_{n+1}}-\frac{a_n}{2}-\frac{7}{8}=\frac{1}{2}{a_n}^2+\frac{a_n}{2}-\frac{7}{8}$=$\frac{1}{2}{({a_n}+\frac{1}{2})^2}-1$
所以$\frac{1}{2}{({a_n}+\frac{1}{2})^2}-1≥\frac{1}{2}{(1+\frac{1}{2})^2}-1=\frac{1}{8}>0$.
综上,${a_{n+1}}>\frac{a_n}{2}+\frac{7}{8}$.…(6分)
(Ⅲ)因为an+1=f(an)(n∈N*),且f(x)=$\frac{1}{2}{x^2}$+x,
所以 $\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{\frac{1}{2}a_n^2+{a_n}}}=\frac{2}{{{a_n}(2+{a_n})}}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{2+{a_n}}}$,…(8分)
所以$\frac{1}{{2+{a_n}}}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$.
所以$\frac{1}{{2+{a_1}}}+\frac{1}{{2+{a_2}}}+…+\frac{1}{{2+{a_n}}}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$
=$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=1-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$.…(10分)
由(Ⅱ)得,${a_{n+1}}>\frac{a_n}{2}+\frac{7}{8}$,所以${a}_{n+1}>\frac{{a}_{3}}{2}+\frac{7}{8}$>2,
即 $\frac{1}{2}<1-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}<1$,…(12分)
所以$\frac{1}{2}<\frac{1}{{1+{a_1}}}+\frac{1}{{1+{a_2}}}+…+\frac{1}{{1+{a_n}}}<1\;\;(n≥2\;,\;n∈{N^*})$…(13分)
点评 本题考查了数列递推公式的化简、灵活应用,以及裂项相消法、放缩法的应用,是数列与不等式结合的综合题,属于难题.
A. | 命题“若ax2<bx2,则a<b”的逆命题是真命题 | |
B. | 命题“x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题 | |
C. | 命题“p且q”为假命题,则命题“p”和命题“q”均为假命题 | |
D. | 命题“?t∈R,t2-t≤0”的否定是?t∈R,t2-t>0 |
A. | ①③⇒②,①②⇒③ | B. | ①③⇒②,②③⇒① | C. | ①②⇒③,②③⇒① | D. | ①③⇒②,①②⇒③,②③⇒① |
满意情况 | 不满意 | 比较满意 | 满意 | 非常满意 |
人数 | 200 | n | 2100 | 1000 |
A. | $\frac{7}{15}$ | B. | $\frac{2}{5}$ | C. | $\frac{11}{15}$ | D. | $\frac{13}{15}$ |