题目内容
(本小题满分12分)
已知椭圆:,分别为左,右焦点,离心率为,点在椭圆上,, ,过与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在线段上是否存在点,使得以线段为邻边的四边形是菱形?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.
已知椭圆:,分别为左,右焦点,离心率为,点在椭圆上,, ,过与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在线段上是否存在点,使得以线段为邻边的四边形是菱形?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.
解:(1)由已知,所以,,
又因为,所以,--------------------------------2分
由余弦定理,----4分
所以,,所以椭圆方程为.-------------------------------5分
(2)假设存在点满足条件,设,,直线的方程为,
联立:,则
,----------------------------------------------------------------------------7分
由题知,
因为,
所以,即,
则 ,
所以 ,---------------------------------------------------------------------10分
,又在线段上,则,
故存在满足题意.-----------------12分
又因为,所以,--------------------------------2分
由余弦定理,----4分
所以,,所以椭圆方程为.-------------------------------5分
(2)假设存在点满足条件,设,,直线的方程为,
联立:,则
,----------------------------------------------------------------------------7分
由题知,
因为,
所以,即,
则 ,
所以 ,---------------------------------------------------------------------10分
,又在线段上,则,
故存在满足题意.-----------------12分
略
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