题目内容
(本小题12分) 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形, PA⊥底面ABCD, PA＝2,
∠PDA="45°," 点E、F分别为棱AB、PD的中点.
（1）求证: AF∥平面PCE;
（2）求证: 平面PCE⊥平面PCD;
（3）求AF与平面PCB所成的角的大小.
∠PDA="45°," 点E、F分别为棱AB、PD的中点.
（1）求证: AF∥平面PCE;
（2）求证: 平面PCE⊥平面PCD;
（3）求AF与平面PCB所成的角的大小.
（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）30°
（2）证明见解析
（3）30°
证明: （1）取PC的中点G，连结FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线 ∴FG
CD
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
∴ABCD ∴FG
AE∴四边形AEGF是平行四边形∴AF∥EG
又EG
平面PCE，AF
平面PCE∴AF∥平面PCE
（2）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA
AD=A
∴CD⊥平面ADP，又AF平面ADP ∴CD⊥AF
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形 ∴PA＝AD="2 "
∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CDPD=D
∴AF⊥平面PCD ∵AF∥EG ∴EG⊥平面PCD
又EG平面PCE平面PCE⊥平面PCD
（3）过E作EQ⊥PB于Q点, 连QG, CB⊥面PAB
∴
QE⊥面PCB, 则∠QGE为所求的角.
S△PEB=
BE·PA=PB·EQEQ=
在△PEC中, PE＝EC＝
, G为PC的中点, ∴EG＝
,
在Rt△EGQ中, sin∠EGQ=
∴∠EGQ=30°
∴FG为△CDP的中位线 ∴FG
CD∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
∴AB
CD ∴FGAE∴四边形AEGF是平行四边形∴AF∥EG 又EG
平面PCE，AF平面PCE∴AF∥平面PCE （2）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA
AD=A∴CD⊥平面ADP，又AF
平面ADP ∴CD⊥AF直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形 ∴PA＝AD="2 "
∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD
PD=D∴AF⊥平面PCD ∵AF∥EG ∴EG⊥平面PCD
又EG
平面PCE平面PCE⊥平面PCD（3）过E作EQ⊥PB于Q点, 连QG, CB⊥面PAB
∴
QE⊥面PCB, 则∠QGE为所求的角.S△PEB=
BE·PA=PB·EQEQ=在△PEC中, PE＝EC＝
, G为PC的中点, ∴EG＝,在Rt△EGQ中, sin∠EGQ=
∴∠EGQ=30°
练习册系列答案
相关题目
的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由
沿棱柱侧面经过棱
到点
的最短路线长为
,设这条最短路线与
．
内是否存在过
平行？证明你的判断；
．
的底面边长为
，侧棱长为
，那么经过底边
的中点且平行于侧棱
的截面面积为（ ）
、
，平面
、
,给出下列命题:
，且
，则
②若
，且
，则
，且
，高为
，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是
的顶点
，
，
分别在两两垂直的三条射线
，
，
上，则在下列命题中，正确命题的个数为_______.
是正三棱锥 ；
∥平面
；
与
；
为