题目内容
【题目】已知两直线方程与
,点
在
上运动,点
在
上运动,且线段
的长为定值
.
(Ⅰ)求线段的中点
的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线与点
的轨迹相交于
,
两点,
为坐标原点,若
,求原点
的直线
的距离的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)利用已知条件设,
,
,建立
与
的关系,利用线段
的长化简计算即可;
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,由判别式大于0求得m2<4k2+1,再由,可得
,从而求得k的范围,再由点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离,则取值范围可求.
(Ⅰ)∵点在
上运动,点
在
上运动,
∴设,
,线段
的中点
,则有
,
∴,
∵线段的长为定值
,∴
+
=8,
即+
=8,化简得
.
∴线段的中点
的轨迹方程为
.
(Ⅱ)设,
,联立
得
,
,化简得
①.
,
,
若,则
,即
,
所以
,
即
,化简得
②,
由①②得,
,
因为到直线
的距离
,所以
又因为,所以
,
所以到直线
的距离的取值范围是
.
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