题目内容
【题目】【2017唐山三模】已知函数, .
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在区间有唯一零点,证明: .
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导得, 分, , ,三种情况讨论可得单调区间.
(Ⅱ)由(1)及可知:仅当极大值等于零,即且
所以,且,消去得,构造函数,证明单调且零点存在且唯一即可.
试题解析:(Ⅰ) , ,
令, ,
若,即,则,
当时, , 单调递增,
若,即,则,仅当时,等号成立,
当时, , 单调递增.
若,即,则有两个零点, ,
由, 得,
当时, , , 单调递增;
当时, , , 单调递减;
当时, , , 单调递增.
综上所述,
当时, 在上单调递增;
当时, 在和上单调递增,
在上单调递减.
(Ⅱ)由(1)及可知:仅当极大值等于零,即时,符合要求.
此时, 就是函数在区间的唯一零点.
所以,从而有,
又因为,所以,
令,则,
设,则,
再由(1)知: , , 单调递减,
又因为, ,
所以,即
点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.