题目内容

【题目】【2017唐山三模已知函数 .

(1)讨论函数的单调性;

(2)若函数在区间有唯一零点,证明: .

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析:(Ⅰ)求导得 ,三种情况讨论可得单调区间.

(Ⅱ)由(1)及可知:仅当极大值等于零,即

所以,且,消去,构造函数,证明单调且零点存在且唯一即可.

试题解析:(Ⅰ)

,即,则

时, 单调递增,

,即,则,仅当时,等号成立,

时, 单调递增.

,即,则有两个零点

时, 单调递增;

时, 单调递减;

时, 单调递增.

综上所述,

时, 上单调递增;

时, 上单调递增,

上单调递减.

(Ⅱ)由(1)及可知:仅当极大值等于零,即时,符合要求.

此时, 就是函数在区间的唯一零点.

所以,从而有

又因为,所以

,则

,则

再由(1)知: 单调递减,

又因为

所以,即

点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

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