题目内容
【题目】定义:对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(﹣x)=﹣f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R),试判断f(x)是否为定义域R上的“局部奇函数”?若是,求出满足f(﹣x)=﹣f(x)的x的值;若不是,请说明理由;
(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
(3)若f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(﹣x)=﹣f(x)有解.
当f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R),时,
方程f(﹣x)=﹣f(x)即2a(x2﹣4)=0,有解x=±2,
所以f(x)为“局部奇函数”.
(2)解:当f(x)=2x+m时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为2x+2﹣x+2m=0,
因为f(x)的定义域为[﹣1,1],所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1,1]上有解.
令t=2x∈[ ,2],则﹣2m=t+ .
设g(t)=t+ ,则g'(t)= ,
当t∈(0,1)时,g'(t)<0,故g(t)在(0,1)上为减函数,
当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,故g(t)在(1,+∞)上为增函数.
所以t∈[ ,2]时,g(t)∈[2, ].
所以﹣2m∈[2, ],即m∈[﹣ ,﹣1].
(3)解:当f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2m2﹣6=0.
t=2x+2﹣x≥2,则4x+4﹣x=t2﹣2,
从而t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2,+∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.
令F(t)=t2﹣2mt+2m2﹣8,
1° 当F(2)≤0,t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2,+∞)有解,
由当F(2)≤0,即2m2﹣4m﹣4≤0,解得1﹣ ≤m≤1+ ;
(说明:也可转化为大根大于等于2求解)
综上,所求实数m的取值范围为1﹣ ≤m≤2
【解析】(1)利用局部奇函数的定义,建立方程f(﹣x)=﹣f(x),然后判断方程是否有解即可;(2)利用局部奇函数的定义,求出使方程f(﹣x)=﹣f(x)有解的实数m的取值范围,可得答案;(3)利用局部奇函数的定义,求出使方程f(﹣x)=﹣f(x)有解的实数m的取值范围,可得答案;
【题目】随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
天气 | 晴 | 雨 | 阴 | 阴 | 阴 | 雨 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 晴 |
日期 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
天气 | 晴 | 阴 | 雨 | 阴 | 阴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 雨 |
【题目】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
由算得, .
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
则参照附表,得到的正确结论应是( )
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”