题目内容

【题目】定义:对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(﹣x)=﹣f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R),试判断f(x)是否为定义域R上的“局部奇函数”?若是,求出满足f(﹣x)=﹣f(x)的x的值;若不是,请说明理由;
(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
(3)若f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(﹣x)=﹣f(x)有解.

当f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R),时,

方程f(﹣x)=﹣f(x)即2a(x2﹣4)=0,有解x=±2,

所以f(x)为“局部奇函数”.


(2)解:当f(x)=2x+m时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为2x+2x+2m=0,

因为f(x)的定义域为[﹣1,1],所以方程2x+2x+2m=0在[﹣1,1]上有解.

令t=2x∈[ ,2],则﹣2m=t+

设g(t)=t+ ,则g'(t)=

当t∈(0,1)时,g'(t)<0,故g(t)在(0,1)上为减函数,

当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,故g(t)在(1,+∞)上为增函数.

所以t∈[ ,2]时,g(t)∈[2, ].

所以﹣2m∈[2, ],即m∈[﹣ ,﹣1].


(3)解:当f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为4x+4x﹣2m(2x+2x)+2m2﹣6=0.

t=2x+2x≥2,则4x+4x=t2﹣2,

从而t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2,+∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.

令F(t)=t2﹣2mt+2m2﹣8,

1° 当F(2)≤0,t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2,+∞)有解,

由当F(2)≤0,即2m2﹣4m﹣4≤0,解得1﹣ ≤m≤1+

(说明:也可转化为大根大于等于2求解)

综上,所求实数m的取值范围为1﹣ ≤m≤2


【解析】(1)利用局部奇函数的定义,建立方程f(﹣x)=﹣f(x),然后判断方程是否有解即可;(2)利用局部奇函数的定义,求出使方程f(﹣x)=﹣f(x)有解的实数m的取值范围,可得答案;(3)利用局部奇函数的定义,求出使方程f(﹣x)=﹣f(x)有解的实数m的取值范围,可得答案;

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