Question

7．已知函数f（x）=$\frac{2ax+{a}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，其中a∈R，在x∈[0，+∞）上存在最大值和最小值，则a的取值范围是（-∞，-1]∪（0，1]．．

Answer 1

分析 先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间，求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围．

解答 解：对函数求导可得，f′（x）=$\frac{-2（x+a）（ax-1）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$                        
①当a=0时，f′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$．
所以f（x）在（0，+∞）单调递增，不合题意．         
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-a，x₂=$\frac{1}{a}$，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值f（$\frac{1}{a}$）=a²＞0．
设x₀为f（x）的零点，易知x₀=$\frac{1-2{a}^{2}}{2a}$，且＜$\frac{1}{a}$．
从而x＞x₀时，f（x）＞0；x＜x₀时，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，则a的取值范围是（0，1]．
③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（-∞，-1]．
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪（0，1]．             
故答案为：（-∞，-1]∪（0，1]．

点评 本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于难题．