题目内容

2.Sn是等差数列{an}的前n项和,若S5=10,S6=15,
(1)求{an}的通项公式;
(2)bn=$\frac{1}{{({a_n}+1)({a_n}+2)}}$,求数列{bn}的前10项和.

分析 (1)通过记数列{an}的公差为d,利用求和公式可知S5=5(a1+2d)=10即a3=2,利用S6-S5可知a6=5,进而可知公差和首项,计算即得结论;
(2)通过裂项可知bn=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,并项相加即得结论.

解答 解:(1)记数列{an}的公差为d,
∵S5=5a1+$\frac{5×(5-1)}{2}$d=5(a1+2d)=10,
∴a3=a1+2d=2,
又∵S6=15,
∴a6=S6-S5=15-10=5,
∴d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{3}$=$\frac{5-2}{3}$=1,
∴a1=a3-2d=2-2=0,
∴数列{an}的通项an=a1+(n-1)d=n-1;
(2)∵an=n-1,
∴bn=$\frac{1}{{({a_n}+1)({a_n}+2)}}$=$\frac{1}{(n-1+1)(n-1+2)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
∴数列{bn}的前10项和为:1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$.

点评 本题考查数列的通项及前n项和,注意解题方法的积累,属于基础题.

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