题目内容
如图,四棱锥P-ABCD中,,,和都是等边三角形.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角A-PD-C的大小.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角A-PD-C的大小.
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.
过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.
连结OA,OB,OD,OE.
由和都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,
故,
从而. 3分
因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE//CD.因此. 5分
(Ⅱ)解法一:
由(Ⅰ)知,,.
故平面PBD.
又平面PBD,所以.
取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,
则FG//CD,FG//PD.
连结AF,由为等边三角形可得AF⊥PD.
所以为二面角A-PD-C的平面角. 8分
连结AG,EG,则EG//PB.
又PB⊥AE,所以EG⊥AE.
设AB=2,则,,
故.
在中,,,,
所以.
因此二面角A-PD-C的大小为. 12分
解法二:
由(Ⅰ)知,OE,OB,OP两两垂直.
以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
设,则
,,,.
,.
,.
设平面PCD的法向量为,则
,
,
可得,.
取,得,故. 8分
设平面PAD的法向量为,则
,
,
可得.
取m=1,得,故.
于是.
由于等于二面角A-PD-C的平面角,
所以二面角A-PD-C的大小为. 12分
(1)解题的关键是辅助线的添加,取BC的中点E是入手点,然后借助三垂线定理进行证明;(2)利用三垂线定理法或者空间向量法求解二面角. 求二面角:关键是作出或找出其平面角,常用做法是利用三垂线定理定角法,先找到一个半平面的垂线,然后过垂足作二面角棱的垂线,再连接第三边,即可得到平面角。若考虑用向量来求:要求出二个面的法向量,然后转化为,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可能互补,要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角,然后根据余弦值确定相等或互补即可。
【考点定位】本题考查线线垂直的证明和二面角的求解,考查学生的空间想象能力和计算能力。
过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.
连结OA,OB,OD,OE.
由和都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,
故,
从而. 3分
因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE//CD.因此. 5分
(Ⅱ)解法一:
由(Ⅰ)知,,.
故平面PBD.
又平面PBD,所以.
取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,
则FG//CD,FG//PD.
连结AF,由为等边三角形可得AF⊥PD.
所以为二面角A-PD-C的平面角. 8分
连结AG,EG,则EG//PB.
又PB⊥AE,所以EG⊥AE.
设AB=2,则,,
故.
在中,,,,
所以.
因此二面角A-PD-C的大小为. 12分
解法二:
由(Ⅰ)知,OE,OB,OP两两垂直.
以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
设,则
,,,.
,.
,.
设平面PCD的法向量为,则
,
,
可得,.
取,得,故. 8分
设平面PAD的法向量为,则
,
,
可得.
取m=1,得,故.
于是.
由于等于二面角A-PD-C的平面角,
所以二面角A-PD-C的大小为. 12分
(1)解题的关键是辅助线的添加,取BC的中点E是入手点,然后借助三垂线定理进行证明;(2)利用三垂线定理法或者空间向量法求解二面角. 求二面角:关键是作出或找出其平面角,常用做法是利用三垂线定理定角法,先找到一个半平面的垂线,然后过垂足作二面角棱的垂线,再连接第三边,即可得到平面角。若考虑用向量来求:要求出二个面的法向量,然后转化为,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可能互补,要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角,然后根据余弦值确定相等或互补即可。
【考点定位】本题考查线线垂直的证明和二面角的求解,考查学生的空间想象能力和计算能力。
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