题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，又点
在该椭圆上.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若斜率为
的直线
与椭圆交于不同的两点
，
，求
的最大面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据椭圆离心率，椭圆上一点的坐标以及
列方程组，解方程组求得
的值，进而求得椭圆
的方程.
（2）设出
的坐标以及直线
的方程，联立直线的方程和椭圆，化简后根据判别式求得
的取值范围，并写出根与系数关系，利用弦长公式求得
，求得
到直线的距离，由此求得
面积的表达式，利用平方的方法，结合基本不等式，求得的最大面积.
（1）依题意，得
，解得
，
椭圆的方程为.
（2）设
，
，
直线的方程为
，
则有
整理，得
由
，
解得
.
由根与系数的关系，得：
，
.
设
为点到直线的距离，
则
，
即
，即
当且仅当时取等号，
所以时，的面积取得最大值为.
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【题目】2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：
| 经济损失4000元以下 | 经济损失4000元以上 | 合计 |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合计 |
（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有
以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望.
附：临界值表
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
参考公式：
，
.