Question

【题目】已知椭圆过点，离心率为，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，，为椭圆上的三点，与交于点，且，当的中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积为常数，见解析.

【解析】

（1）根据点在椭圆上和离心率，得出的等量关系，解方程求椭圆标准方程；

（2）设，，联立直线与椭圆方程，消去，利用韦达定理可求出的底和高，将面积表示出来，可得面积是常数.

（1）由已知易得，，

∴，故椭圆的标准方程为：.

（2）①若点是椭圆的右顶点（左顶点一样），

则，∵，在线段上，

∴，

此时轴，求得，

∴的面积等于.

②若点不是椭圆的左、右顶点，

则设直线的方程为，，，

由

得，

则，，

∴的中点的坐标为，

∴点的坐标为，

将其代入椭圆方程，化简得.

∴.

∵点到直线的距离，

∴的面积.

综上可知，的面积为常数.