Question

【题目】如图，已知为抛物线上一点，斜率分别为，的直线PA，PB分别交抛物线于点A，B（不与点P重合）.

（1）证明：直线AB的斜率为定值；

（2）若△ABP的内切圆半径为.

（i）求△ABP的周长（用k表示）；

（ii）求直线AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）.

【解析】

（1）首先设直线PA的方程为，与抛物线联立，求得点的坐标，将，求得点的坐标，再求直线的斜率；

（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，

（ⅱ）首先求点到直线的距离，再利用等面积公式转化方程求，最后求直线的方程.

（1）设直线PA的方程为，与抛物线联立，

得，

易知，，

所以直线AB的斜率（定值）.

（2）由（1）得直线AB的方程为，

所以点P到直线AB的距离.

，，.

（ⅰ）求的周长；

（ⅱ）设的内切圆半径为r，则，

，

即，解得.

所以直线AB的方程为.