题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,已知四边形
是菱形,
,
,
,二面角
的大小为
,
是
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)连接交
于点
,连接
,根据三角形的中位线定理证得
,然后利用线面平行的判定定理证明即可;
(2)先根据(1)得到直线与平面
所成的角,即直线
与平面
所成的角,然后过点
作
,利用面面垂直的性质定理得到
平面
,进而得
为直线
与平面
所成的角,最后求
的正弦值即可.
(1)如图所示:
连接交
于点
,则
是
的中点,连接
.
又是
的中点,所以
,
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)过点作
,垂足为
,连接
.
由(1)知,
所以直线与平面
所成的角,即直线
与平面
所成的角.
易知,又
是
的中点,
所以.
同理,又
,
所以平面
,
因为平面
,
所以平面平面
.
因为平面平面
,
平面
,
,
所以平面
,
所以为直线
与平面
所成的角.
因为,所以
,又
,
,
所以平面ACP,
所以为二面角
的平面角,
所以,
设菱形的边长
,又
,
所以,
由余弦定理得:,
所以,
在中,
,
,
,
所以,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.

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