题目内容

对于自然数数组，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果的极差，可实施如下操作：若中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为，其级差为.若，则继续对实施操作，…，实施次操作后的结果记为，其极差记为.例如：，.
（1）若，求和的值；
（2）已知的极差为且，若时，恒有，求的所有可能取值；
（3）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足.
（1）,,；（2）的取值仅能是2；（3）详见解析．

试题分析：（1）由数组的极差的定义，可知，，这时三数为，第二次操作后，，这时三数为，第三次操作后，，，这时三数为，第四次操作后，，这时三数为，第五次操作后，，这时三数为，第六次操作后，，这时三数为，，第２０１４次操作后，，这时三数为；（2）已知的极差为且，这时极差最小值为，当时，这时是三个连续的正整数，即为，由（1）可知，通过变化后，所得数仍然是，所以数组的极差不会改变，即，符合题意，当，这时三个数，通过变化成，这是极差为，或，这样就可以确定出的取值仅能是2；（3）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足，这时三数形式为，由二项式定理可知，故所以的极差是3的倍数，这样根据极差的定义，通过操作，得到是一个公差为的等差数列，从而可得出结论.
（1）,,                  3分
（2）法一：
①当时，则
所以，，
由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次
小数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.
所以，当时，恒成立.
②当时，则
所以或
所以总有.
综上讨论，满足的的取值仅能是2.              8分
法二：
因为，所以数组的极差
所以，
若为最大数，则
若，则
若，则，
当时，可得，即
由可得
所以
将代入得
所以当时，（）
由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次小
数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.
所以满足的的取值仅能是2.                 8分
（3）因为是以4为公比的正整数等比数列的三项，
所以是形如（其中）的数，
又因为
所以中每两个数的差都是3的倍数.
所以的极差是3的倍数.                                9分
法1：设，不妨设，
依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是唯一最大数，是最小数时，一定有，解得.
所以，当时，.
，
依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是最大数，是最小数时，一定有，解得.
所以，当时，.
，
所以存在，满足的极差.                    13分
法2：设，则
①当中有唯一最大数时，不妨设，则
，
所以
所以，若是3的倍数，则是3的倍数.
所以，则，，
所以
所以                            11分
②当中的最大数有两个时，不妨设，则
，
所以，
所以，若是3的倍数，则是3的倍数.
所以，则，
所以.
所以当时，数列是公差为3的等差数列.                    12分
当时，由上述分析可得，此时
所以存在，满足的极差.                      13分
练习册系列答案
相关题目
各项均为正数的数列{an}中，设，，且，．
（1）设，证明数列{bn}是等比数列；
（2）设，求集合．
设数列{}是等差数列，数列{}的前项和满足,,
且。
（1）求数列{}和{}的通项公式：
（2）设为数列{．}的前项和，求．
等差数列的前项和为,且,则过 点和的直线的斜率是(    )
A．1B．2C．4D．
已知等差数列的前项和为，若，且，则的公差是       ，
的最小值为     .
设等差数列的前n项和为，则=      .
已知等差数列中，已知，则 （     ）
A．B．C．D．
等差数列{}的前规项和为Sn，S3=6，公差d=3，则a4=（  ）
A．8B．9C．11 D．12
数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列,则的通项公式是______.

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网