Question

已知函数.
（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数a的值；
（2）求证：≥0恒成立的充要条件是；
（3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）－2；（2）见解析；（3）.

(1)根据函数f(x)在x=1处的导数值为3,建立关于a的方程求出a的值.
(2)证充要条件：要从两个方面进行证明：（i）充分性.（ii）必要性.
(3)由（2）知 当a<0时，函数f(x)在上是增函数，又函数在是减函数.
从面确定不妨设，则,

然后利用导数解决.
解：所以曲线在x=1处切线的斜率为..
（2）①充分性

所以当
上是增函数，当，所以函数在（0,1）上是减函数，所以
②必要性

（i）当时，恒成立，所以函数在（0，+）上是增函数.而，所以当
综上所述，恒成立的充要条件是a=1.
（3）由（2）可知
当a<0时，函数f(x)在上是增函数，又函数在是减函数.
不妨设，则