已知双曲线的方程为5x2-4y2=20两个焦点为F1.F2．(1)求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程,(2)若椭圆与此双曲线有共同的焦点.且有一公共点P满足|PF1|•|PF2|=6.求椭圆的方程．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知双曲线的方程为5x²-4y²=20两个焦点为F₁，F₂．
（1）求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
（2）若椭圆与此双曲线有共同的焦点，且有一公共点P满足|PF₁|•|PF₂|=6，求椭圆的方程．

（1）双曲线的方程为5x²-4y²=20可化为

=1，
∴a=2，b=

，
∴c=

a2+b2

=3，
∴双曲线的焦点坐标（±3，0），渐近线方程为y=±

x；
（2）由题意，设椭圆的方程为

=1(a＞b＞0)，则不妨设|PF₁|＞|PF₂|，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|-|PF₂|=4，
∴|PF₁|=a+2，|PF₂|=a-2，
∵|PF₁|•|PF₂|=6，
∴（a+2）（a-2）=6，
∴a²=10，
∵c=3，
∴b²=1，
∴椭圆的方程为

+y2=1．

练习册系列答案

，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B及C、D．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：

已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

，且经过点（4，-

）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂为双曲线C的左、右焦点，若双曲线C上一点M满足F₁M⊥F₂M，求△MF₁F₂的面积．

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F₁、F₂，上顶点M（0，b），△MF₁F₂为正三角形且周长为6，直线l：x=my+4与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

•

的取值范围．

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|

F1Q

|=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

|≠0．
（1）求证：|PQ|=|PF₂|；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）若椭圆的离心率e=

，试判断轨迹C上是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=b²，若存在，请求出∠F₁MF₂的正切值．

已知椭圆

=1（a＞b＞0）的左右两焦点分别为F₁，F₂，p是椭圆上一点，且在x轴上方，PF₂⊥F₁F₂，PF₂=λPF₁，λ∈[

，

]．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N．试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

过点M（1，1）作一直线与椭圆

=1相交于A，B两点，若M点恰好为弦AB的中点，则AB所在直线的方程为______．

如图，椭圆

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=

，过F₁的直线交椭圆于M、N两点，且△MNF₂的周长为4

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆E中心的任意弦，P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点，求△APB面积的最小值．

试题分类